韓信點兵

程度:	高中
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摘自︰劉薰宇的《數學趣味》民國二十三年版「韓信點兵」一章（p.195 - 236）

楔子

說起來已將近三十年了，那時我還只八歲，常常隨了我的祖父去會他的老友。有一次到一個小鹽商家去。他一見了我們祖孫倆走到攤頭，一邊拉長板凳一邊向祖父說：

「請坐請坐，好福氣，四孫少爺這般大了。」
「什麼福啊！奔忙福！」
「那裏，那裏，四孫少爺在進學校了吧！」
「不要這般叫孩子們……今年已隨着哥哥進學校了，在屋裏淘氣得很，還是去找個管頭的好。」

祖父說了，微笑着撫摸我的頭。鹽老闆和他說了一些古話，不知怎地，突然卻轉到了我的身上：

「在學校裏唸些什麼書？」
「國文算術.........」我這樣地回答。
「還學算嗎？好，給你算一個題，算得出，請你喫晚飯。」

這使我有點奇怪，我心裏猜不透他是叫我算乘法還是除法。我有些驚恐，怕他叫我算四則問題，我目不轉睛地看着他，他不慌不忙地說了出來：

「三個三個地數剩兩個，五個五個地數剩三個，七個七個地數也剩兩個，你算是幾個？」

我一聽了心裏非常高興，暗裏還有點驕傲，「這樣的題目，那個不會算！」這時我正好學完公倍數公約數，而且不久前還算過這樣的一個題目：

「某數以三除之餘二，以四除之餘三，以五除之餘四，以六除之餘五，問某數最小是若干？」

我把這兩個題目看着是一樣；牠們都是用幾個數去除一個數全除不盡。這第二個道題的算法，我還記得十分清楚，所以我覺得很有把握。不但這樣，我並且覺得這位老闆的題目有些不通，他不曾只問我一個最小的答數。當我這樣在肚裏尋思的時候，祖父便問道：

「算得出嗎？」
「算得出，不只一個答數。」

我這樣回答以後，那位老闆就恭維起我來了，向着祖父說：

「真好福氣！一想就想出來了，將來一定比大老爺還強。」

祖父又是一陣客氣，然後向着我，

「你說一個答數看。」

我所算過的題是先求出「三」「四」「五」「六」四個數的最小公倍數「六十」，然後減去「一」得「五十九」。我於是依樣先求「三」「五」「七」三個數的最小公倍數，心裏暗想着「三五一十 五、七五三十五、一百零五」。再就是要減去一個數了。我算過的題因為「以三除之餘二」 是差個一（3 - 2 = 1）就除盡，所以要減去「一」，現在「三個三個地數剩兩個」正是一樣的，也只要減去「一」，所以我就從一百零五當中減去一，而立刻回答道：

「頂小的一個數是一百零四，還有二百零九（104 + 105 = 209）也是的。」

我這時，在幼稚的心上感到得意，感到快樂，我期望着老闆的誇獎。豈知大出我意料之外！他說：

「一百零四，五個五個地數剩的是四個不是三個。」

這我怎麼不曾想到呢？於是我想那麼應當從一百零五當中減去二了（5 - 3 = 2）。我就說：

「一百零三。」
「三個三個的數只剩一了」

我窘極了，居然遭了這麼大的失敗。在我小時學數學，所遇到的窘迫，這是最大的兩次當中的一次，我覺得當着人失敗，非常害羞。我記得很清楚，我一隻手扯了衣角，一隻手揑緊拳頭，臉上如火燒一般地熱，低了頭儘管在心裏轉念頭，把我所算過的題目都想到。但是徒然，再和牠相像的一個也沒有了。我後來橫了心。很膽大地說：

「恐怕題目出錯了吧！」

然而得到的是一個更加使我窘迫的回答：

「不錯的，連我的祖父也這樣說。」

窮極智生，我居然得到了一條新路，我想三個去除剩兩個，五個去除剩三個，我可以先找三個去除剩兩個的一些數，再一個一個地拿五去除來試。這真是一條光明的路，第一個我想到「五」，這自然不對，用五去除並沒有剩的。挨了下去再就想到「八」，正好用三去除剩二，用五去除剩三。我真喜出望外：

「八！」

「還是不對，七個七個地數，只剩一個。」

這真叫我走頭無路了！那天的晚飯雖則仍是那位老闆留我們喫，但當祖父答應留在那裏的時候，使我非常難過，眼巴巴地只望他領了我回家，我真是臉上熱一陣冷一陣的，那有心腸喫飯！我想得頭都脹了，總想不出這個方法來。羞愧氣悶，因而還有些惱怒，就滿心充塞着這些滋味，沒精打采地在夜裏随着祖父回家。我的祖父對我很慈愛，但督責也很嚴，他在外面雖不曾向我說什麼，一到家裏他就教訓我了：

「讀書要用心......在別人的面前不好誇口！......『寧在人前全不會，勿在人前會不全！』小小年紀曉得些什麼？別人問到就說不知道好了。......這時他的臉上嚴肅中還帶得有幾分生氣的樣兒。他給我這樣的教訓時，我的母親，嬸母，哥哥都在旁邊的，他後來慢慢地將我的遭遇說給他們聽，我的哥哥聽他說完了題目便衝口而出地：

「二十三。」

我非常不服氣 ，

「別人告訴過你的！」
「還這樣不上進，祖父真生氣了。」

從那夜起，一直兩三天，我見到祖父就怕，我沒有一個時候不想這個題的算法，真弄得喫、玩、睡、都是惝怳的。終於還是我的哥哥把算這個題目的秘訣告訴了我，而且說，這叫「韓信點兵」。這我纔雖是十分懊喪，卻慢慢地丟開了去。

現在想起來，那次的遭遇以及祖父所給我的教訓實在是我的年齡所不應當受的。不過這樣的硬教育，對於我也有很大的功勞，我對於數學能有較濃厚的興趣，一半固然由於別人所給的積極的鼓勵；而一半也由於這種差不多是我所擔受不起的遭遇和教訓。數學本來有時會叫人頭痛的，然而經過一次頭痛，總有一次的進益。這次的遭遇，對於本問題，我自己直接雖是一無所得，但對於思索問題的途徑，確實得到了不少的啓示。在當時，有些自以為有了理解的雖也不免浮泛或錯誤，但畢竟增長了一些趣味和能力。因此我願以十二分的誠意，將這段經過敘述出來，以慰勉一部分和我有相類的遭遇的讀者。

現在我們言歸正傳。

源考

所謂「韓信點兵」，就指的是那位鹽老闆所給我的問題的算法。「韓信點兵」這個名詞雖是到了明時程大位的《算法統宗》纔見到的。但這個問題在中國數學史上卻很有些來歷 ，到了賣鹽老闆都知道，也可以當得起「婦孺皆知」的榮譽了。

這題目最早是見於《孫子算經》，《孫子算經》確實是什麼時候什麼人所作的書，現在雖然難以攷證，大約是二千多年前的作品確實是不容懷疑。在《孫子算經》上這題目原是這樣的：

「今有物不知數，三三數之，賸二；五五數之，賸三；七七數之，賸二；問物幾何？」

在原書本歸在「大衍求一術」中，到了宋時，周密的書中卻有「鬼谷算」和「隔牆算」的名目，而楊輝又稱為「剪管術」，在那時便有「秦王暗點兵」的俗名，大約韓信就是從秦王變 來的，至於「明點」「暗點」那本沒有什麼多大關係。

算法

原書（編注：即《孫子算經》）上，跟着題目便有下面的段落：

「答曰二十三。

術曰：三三數之賸二，置一百四十；五五數之賸三，置六十三；七七數之賸二，置三十；併之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。

凡三三數之賸一，則置七十；五五數之賸一，則置二十一；七七數之賸一，則置一十五；一百六以上以一百五減之，即得。」

後一小段可以說是這類問題的基本算法，而前一小段卻是本問題的解答，用現在的式子照寫出來便是：

70 x 2 + 21 x 3 + 15 x 2 = 140 + 63 + 30 = 233
233 - 105 x 2 = 233 - 210 = 23.

照前面的說法，自然是士大夫氣很重，也可以說是講義體，一般人當然很難明白，但到了周密的書便有詩歌形式的說明，那詩道：

三歲孩兒七十稀，五留廿一事尤奇，
七度上元重相會，寒食清明便可知。

這詩雖然容易記誦，但意義不很明白，而且說的也欠周到。到了程大位，牠就改了面目：

三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，
七子團圓正华月，除百令五便得知。

這詩流傳得非常廣，所以如賣鹽老闆之流也都知道，而我的哥哥所告訴我的秘訣就是牠。

是的，知道了牠，這類的題目便可以機械地算了，將三除所得的餘數去乘七十，五除所得的餘數去乘二十一，七除所得的餘數去乘十五，再把這三項乘積相加；如所得的和比一百零五小，那便是所求的答數；不然，則減去一百零五的倍數而得出比一百零五小的數來——這里所要求的只是一個最小的答數——例如三三數之賸一，五五數之賸四，七七數之賸三，那末，運算的程序便是：

70 x 1 + 21 x 4 + 15 x 3 = 7 + 84 + 5 = 199.
199 - 105 = 94.

若單只就實用或遊戲說，熟記這秘訣已很夠受用了；至於牠是從那兒來的，一般人那管得許多。但就數學的立場來說，這種知其然而不知其所以然的態度卻沒有多大的價值。並且即使熟記着這秘訣，所能應付的問題不過一百零五個，因為只能限於三三、五五、七七、三種數法；我們要默記這一百零五個答數並不是不可能；然而到得果真熟記着這一百零五個答數，那就更無意味了。

算法解釋

所以我們第一要問，為什麼這樣就是對的？要說明個中的理由，我們先記起算術裏面關於倍數的兩個定理：

（一）某數的倍數的倍數，還是某數的倍數。
（二）某數的若干倍數的和，還是某數的倍數。

依了這兩個定理來檢討上面的算法，設R₃表示用三除所得的餘數，R₅ 和 R₇ 相應地表示用五除和用七除所得的餘數，那末：

（一）70 是 5 和 7 的倍數，而是 3 的倍數多 1，所以用R₃去乘仍是 5 和 7 的倍數，而是三的倍數多R₃。
（二）21 是 7 和 3 的倍數，而是 5 的倍數多 1，所以用R₅去乘仍是 7 和 3 的倍數，而是 5 的倍數多R₅。
（三）15 是 3 和 5 的倍數，而是 7 的倍數多 1，所以用R₇去乘仍是 3 和 5 的倍數，而是 7 的倍數多R₇。
（四）所以這三項相加，就 3 說，是

70 x R₃ + 21 x R₅ + 15 x R₇
= 3的倍數 + R₃ + 3的倍數 + 3的倍數
= 3的倍數 + R₃

若用 3 去除，所得的餘數正是R₃。就 5 說，是

70 x R₃ + 21 x R₅ + 15 x R₇
= 5的倍數 + 5的倍數 + R₅ + 5的倍數
= 5的倍數 + R₅

若用 5 去除，所得的餘數正是R₅。就 7 說，是

70 x R₃ + 21 x R₅ + 15 x R₇
= 7的倍數 + 7的倍數 + 7的倍數 + R₇
= 7的倍數 + R₇

若用 7 去除，所得的餘數正是R₇。

這就可以證明我們如法泡製出來的數是合題的。至於在比 105 大的時候，要減去牠的倍數，使得數小於 105，這只因為適合於題目的答數本來無窮，只得取最小的一個做代表的緣故。105 本是 3、5、7 的最小公倍數，在這最小的答數上加入牠的倍數，這是和除得的餘數無關係的。

經過這樣的證明，我們可以承認上面的算法是對了。但這還不夠；我們第二要問，那 70、21 和 15 三個數含有怎樣的性質？

70 是 5 和 7 的公倍數，而 21 是 7 和 3 的最小公倍數，15 是 3 和 5 的最小公倍數，為什麼兩個是最小公倍數而他一個卻只是公倍數呢？

這個問題並不難回答，因為 21 用 5 除，15 用 7 除都恰好剩 1，而 5 和 7 的最小公倍數 35 用 3 除卻剩的是 2，要 70 用 3 除纔剩 1。所以這個解法的要點是，要求出三個數來，每一個都是三個除數中的兩個的公倍數——最小公倍數是碰巧的——而同時是其他一個除數的倍數多一。

「求一術」

這樣，就到了第三步，我要問合於這種條件的數怎樣求法？

這里且將清時黄中憲所編《求一術通解》裏面的方法摘抄在下面，我們來認識認識中國數學書的面目，也是一件趣事。

「三位泛母俱是數根，不可析，即為定母。連乘之，得一零五為衍母。以一行三除之，得三十五為一行衍數；以二行定母五除之，得二十一為二行衍數；以三行定母七除之，得一十五為三行衍數。」

這里所謂泛母，用不到解釋，便可明白；析母就是將泛母分成質因數。至於定母便是各泛母所單獨含有的質因數的積。若是有一個質因數是兩個以上的泛母所共有的，那末只是含這個質因數的個數最多的泛母用牠；若是兩個泛母所含這質因數的個數相同，那末隨便在那一個泛母用牠都可以——注意後面的另一個例——衍母是各定母的連乘積，也就是各泛母的最小公倍數，衍數是用定母除衍母所得的商。

得了定母和衍數，就可以求乘率。所謂乘率便是乘了衍數所得的積恰等於泛母的倍數多一的數；而這個乘積稱為用數。求乘率的方法，在《求一術通解》裏面是這樣說的：

「列定母於右行，列衍數於左行（左角上預寄一數），輾轉累減，至衍數餘一為止，視左角上寄數為乘率。

「按兩數相減，必以少數為法，多數為實；其法上無寄數者，不論減若干次，減餘數上仍以一為寄數 (1)；其實上無寄數者，減餘數上以所減次數為寄數 (2)；其法實上俱有寄數者，視累減若干次，以法上寄數亦累加若干次於實上寄數中 (3)；即得減餘數上之寄數矣。」

照這個法則我們來求所要的各乘率，為了容易明白，我將原式的中國數碼改成了亞拉伯數字：

依原書所說，是用累減法，但累減便是除，為什麼不老老實實地說除，而要說是累減呢？這個理由是因為最後衍數這一行必要保留一個餘數一 —— 所以即使除得盡也不許除盡；因此說除不如說累減來得統一。但我們這時要說明，還是用除好些。我們就用除法來檢查這個計算法。如第一式，衍數 35 左角上的 1，就是所謂預寄的一數，表示用一個衍數的意思。因為定母 3 比衍數 35 小，用 3（法）去除 35（實）得 11 剩 2；照 (1) 法上無寄數，仍以 1 為餘數 2 的寄數，所以 2 的左角上寫 1。接着以 2（法）除 3（實）得 1（商）剩 1；照 (2) 實上無寄數以所減次數（即商數）為餘數的寄數，所以 1 的右角上還是 1。再用這 1（法）去除 2（實），本來是除得盡的，但應當保留餘數 1，因此只能商 1 而剩 1。照 (3) 法實都有寄數，應當以商數 1 乘法數 1 的寄數 1 加上實數 2 的寄數 1 得 2 為餘數 1 的寄數，而牠便是乘率。

第一次的餘數：2	= 35 - 3 x 11
第二次的餘數：1	= 3 - 2 × 1
	= 3 - 第一次的餘數 × 1
	= 3 - ( 35 - 3 x 11 ) × 1
第三次的餘數：1	= 2 - 1 x 1
	= 第一次的餘數 - 第二次的餘數 × 1
	= 35 - 3 x 11 - [ 3 - ( 35 - 3 x 11 ) × 1 ] × 1
	= 35 - 3 x 11 -  3 + 35 × 1  × 1 - 3 x 11
	= 35 x ( 1 + 1  × 1) - 3 x ( 11 + 1 + 11 )
	= 35 x 2 - 3 x 23

就是：3 x 23 = 35 x 2 - 1
∴ (35x2) ÷ 3  = 23 餘 1

上式中紅2表示所求得的乘率，橙色1和青色1分別表示第二次的寄數和第三次的商數。你看這求法多末巧妙！（編注：原書算式部份有誤，這裏作了最基本的修正。另利用網頁的彩色字體，取代原來的粗體和符號標記，說明只相應略作調整，儘量保持原文意思。）

現在用代數的方法一般証明如下.......（編注：証明部份在這裏省略，詳情請看原著。）

有了乘率，將牠去乘衍數就得用數，上面已經證明了。所以在本例題，三、五和七的用數相應地便是七十 (35 x 2) 、二十一 (21x1) 和一十五 (15x1)。


楊輝的「剪管術」中，同樣的題目有好幾個，試取兩個照樣演算於下。

 例題甲

 七數剩一，八數剩二，九數剩三；問本數幾何？

（一）求衍數

（二）求乘率

（三）求用數，就是將相應的乘率去乘衍數，所以七、八、九的用數相應地為二百八十八(72X4)，四百四十一 (63x7) 和二百八十 (56 x 5)。

（四）求本數，就是將各除數所除得的剩餘相應地乘各用數，而將這三個乘積加起 來。倘若這所得的和比七、八、九的最小公倍數五百零四大，就將五百零四的倍數減去，也就是用這最小公倍數除所得的和而求餘數。

	因而 288 x 1 + 441 x 2 + 280 x 3	= 288 + 882 + 840
		= 2010
	2010 ÷ 504	= 3 餘 498

所以四百九十八便是本數。

例題乙

二數餘一，五數餘二，七數餘三，九數餘四，問元總數幾何？

（一）求衍數

（二）求乘率

（三）求用數

2 的 .......... 315 x 1 = 315
5 的 .......... 126 x 1 = 126
7 的 .......... 90 x 6 = 540
9 的 .......... 70 x 4 = 280

（四）求本數

	315 x 1 + 126 x 2 + 540 x 3 + 280 x 4	= 315 + 252 + 1620 + 1120
		= 3307
	3307 ÷ 630	= 5 餘 157

所以元總數是一百五十七。

例題丙

再由《求一術通解》上取一個較複雜的例，那更可以看明白這類題的算法了 。

「今有數不知總：以五累滅之，無賸；以七百一十五累減之，賸一十；以二百四十七累減之，賸一百四十；以三百九十一累減之，賸二百四十五；以一百八十七累減之，賸一百零九。問總數若干？

「答一萬零二十。」

（一）求衍數

（二）求乘率

（三）求用數

715 的 .......... 96577 x 18 = 1738386
247 的 .......... 215056 x 139 = 2989195
391 的 .......... 13585 x 43 = 584155

（四）求總數

1738386 x 10 + 2989195 x 140 + 584155 x 245

		= 17383860 + 418487300 + 143117974
		= 578989135
	578989135 ÷ 5311735	= 109 餘 10020

這個計算所要注意的就是「廢位」；第一行的析母 5，第二行也有，第二行已用了（粗體數字就是表示採用的意思），所以第一行可廢去。又第五行的 11 和 17，一個已用在第二行，一個已用在第四行，所以這一行也廢去。前面已經說過兩個泛母若有相同的質因數而且所含的個數相同，無論在那個泛母採用都可以的，因此上面的求衍數只是方法中的一種，在《求一術通解》裏，就附有每種採用法的表（見下），比較起來這一種實在是最簡單的了。（表中的 O 表示廢位）

由這幾個例，可以看出韓信的點兵不限於三三、五五、七七地數。在中國的舊數學上，「大衍求一術」還有不少的應用，不過在這篇短文裏卻講不到了。

到了這一步，我們可以問「 韓信點兵這類的問題在西洋數學中怎樣解決呢？」

代數解法

要回答這個問題，你先要記起代數中聯立方程式的解法來..........（編按：省略解釋聯立方程式部份）..........我們就用韓信點兵的問題來做例吧。

設三三數所數的次數為 x，五五數所數的次數為 y，七七數所數的次數為 z；而原數為 N，則

N = 3x + 2 = 5y + 3 = 7z + 2
∴ 3x + 2 = 5v + 3 ...... (1), 3x + 2 = 7z + 2 ...... (2)

這有三個未知數而只有兩個方程式，但我們應當注意，x,y,z 都必須是正整數，這便是一個附帶的條件，

由 (1)：

因為 x 和 z 是正整數，所以  雖是一個分數的形式，也必須是整數。設牠是 α，那末

因為 y 和 α 都是整數，所以 也必須是整數。設牠是 β，則

而 N = 3x + 2 = 3 (5β + 2) + 2 = 15β + 8

由 (2)    15β + 8 = 7z + 2,    ∴ 7z = 15β + 6,

因為 z 和 β 都是整數，所以 也必須是整數，設牠是 γ，則

而

現在 γ 旣是整數，而且不能是負的，因為牠若是負的，N 也便是負的，對於題目說便沒有意義了。所以 γ 至少須是 1，而

N = 105 - 82 = 23

自然 γ 可以是 2, 3, 4, 5, 6, ......而 N 隨着便是 128, 233, 338, 443, 548 ......但 N 的值雖無窮卻有一個限制。

.......（編注：原文這裏轉談代數方程式的其它技巧，於此從略）......

將中國的老方法和現在我們所學的新法兩相比較，究竟那一種好些，這雖很難說，但由此可以知道，一個問題的解法決不只是一種。當學習數學的時候，能夠注意別人的算法以及自己另闢蹊徑去走，都是有興味而且有益處的。中國的「求一術」不但在中國數學史上佔着很重要的位置，若能發揮光大，正有不少的問題可以研究。

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