數學是甚麼？

程度:	高中
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摘自︰Alfréd Rényi "Diaglogues of Mathematics" （1967 年版）Chapter 1 A Socratic Dialogue on Mathematics 及魏慶榮的譯本（刋於《數學傳播》季刋 第一巻第三期 民國六十五年十二月）

蘇		親愛的希伯克拉特1（編注：以下簡稱希伯），在找人？
希		是呀，蘇格拉底2，不過我已經找到了，那就是你。我到處找你，有人在市場跟我說，他看到你沿著伊利索斯河散步，所以我就跟著來了。
蘇		哦，那告訴我你為什麼來，等下我還要問你一些那天我們跟普羅達格拉斯3一起討論的事。你還記不記得這件事？
希		我怎會忘記呀。從那時起，我沒有一天不想著這件事。而且我今天所以來找你，主要就是因為那些討論還留在我的腦海裏。
蘇		親愛的希伯，看來你要跟我談的，就是我想跟你討論的問題，兩件事合而為一了。那些數學家說二永遠不等於一似乎是錯了呢！
希		事實上，蘇格拉底，我要跟你談的主題正是數學。

採礦者只能採出礦裏蘊藏的東西

蘇		希伯，你明知道我不是個數學家。你為什麼不去問有名的戴爾多拉斯4（編注：以下簡稱戴爾）？
希		哇，你真行！我還沒說出我的問題，你就回答了。我正想做戴爾的學生，來問問你的看法。上次我來看你的時候，很想做普羅達格拉斯的學生，那時我們一起到他那裏，你引導我們的討論是多麼的高明，使我很清楚地知道他並不懂得他教的東西。所以我就改變心意不去跟他。可是這討論只幫我認識到什麼不該做，卻沒告訴我該做什麼。我還是很迷惑。我跟同年紀的年輕朋友參加宴會，出入競技場，我敢說日子過得挺快樂，但是這並不能使我滿意。我為自己的無知而煩惱。說明白點，我覺得我的知識都很不踏實。在跟普羅達格拉斯討論的時候，我就明白，像美德、公正和勇氣這一類習以為常的概念，我所知道的都比我所需要的還差得很遠。然而，現在我很清楚自己的無知，這也算是一大進步吧。
蘇		親愛的希伯，很高興你和我的看法一致。我一向都承認自己是無知的。我跟大部份人不同的地方，就是我不把實際上不懂的東西認為是懂的（編注：粗體文字是引自前人文獻，是那位人物真實說過的話。其它皆為作者創作，借故人的口表達。）
希		蘇格拉底，這就明白地顯出你的智慧了。不過，這樣對我還是不夠。我非常想得到一些可靠而紮實的知識，我不停在想，哪裏可獲得這些知識呢？最近，史愛得多5告訴我，只有在數學裏才有可靠的東西，他又建議我去跟他的導師戴爾學數學。戴爾是雅典裏數字和幾何方面的權威。這回，我不想重犯之前要成為普羅達格拉斯的學生時同樣的錯誤。因此，蘇格拉底，告訴我，要是我跟戴爾學數學，是不是能找到我所追求的那種完美的知識呢？
蘇		要是你想研究數學，喔！阿波羅多羅斯6之子，那麼到我那極受敬重的朋友戴爾那裏去，是再好不過的了。不過你一定要自己決定是不是真想學數學。沒有人比你自己更瞭解你需要甚麼。
希		你為甚麼不肯幫我忙呢？是不是我曾不自覺地冒犯了你？
蘇		我的年輕朋友，你誤會了。我沒生氣，只是你問到了我無能為力的地方。每個人總得自己決定做些什麼。我能做的，只不過是在你的判斷誕生時，當個接生婆罷了！
希		我親愛的蘇格拉底，請別拒絕我，要是現在你有空，我們馬上就開始吧！
蘇		好，假如你願意的話。我們躺在那懸鈴木的樹蔭下就開始。不過先要告訴我，你是不是準備好依我喜愛的方式來討論？我問你問題，你回答。依照這種方法，能使你靈魂中已有的知識種子開花，那你就會更清晰地看到你已經知道的東西。我希望你可別像大流士王一樣，只是因為他認為礦裏有金，而礦坑技師只探出銅，就把技師給殺了。我希望你別忘了，採礦者只能採出礦裏蘊藏的東西。
希		我發誓絕不發怪罪之辭。不過，看在宙斯7的份上，我們馬上就開礦吧！

質數在哪裏

蘇		好。那麼告訴我，什麼是數學？既然你要研究數學，我想你能下個定義的。
希		我想每個小孩都能夠。數學是一種科學，而且是最精巧的一種。
蘇		我沒要你讚美數學，是要你描述它的本質。譬如說，如果我問你有關醫生的學問，你會說這是和健康跟疾病有關的學問，目的在治好病，保持健康。對不對?
希		當然。
蘇		那就回答我吧！醫生處理的是存在的東西呢？還是不存在的？要是沒有醫生，疾病還存在嗎？
希		當然存在，甚至比現在還多。
蘇		我們看其他科學，例如天文學。天文學家是在研究星體的運動，這點你同意吧。
希		自然。
蘇		假如我問天文學界研究的是不是存在的東西，你的答覆是什麼？
希		我會說是。
蘇		要是這個世界沒有天文學家，星體還存在嗎？
希		當然。即使宙斯發怒而滅絶人類，星星在夜裏，依舊會在天空閃燿。哎呀！為什麼我們不談數學而討論起天文呢？
蘇		我的好朋友，請別性急。我們再考慮一些其它科學，以便跟數學做個比較。要是有人懂得所有住在森林或深海裏的生物，你如何描述他呢？
希		他是個研究生物的科學家。
蘇		你同意他研究存在的東西嗎？
希		同意。
蘇		所以要是我說所有的科學都是研究存在的東西，你說對不對？
希		對。
蘇		現在告訴我，年輕的朋友，數學的目的是甚麼？數學家研究些甚麼？
希		我也問過史愛得多同樣的問題。他告訴我，數學家研究數字和幾何圖案。
蘇		好，他答得對。但是你說這些東西存在嗎？
希		當然。要是不存在，我們又如何談起呢？
蘇		那告訴我，要是沒有數學家，會有質數嗎？要是有，又在哪裏？
希		我實在不知道該回答甚麼了。很明顯的，要是數學家考慮質數，那質數就會在他們的意識裏存在。但是如果沒有數學家，任何地方都不會有質數。
蘇		你的意思是數學家研究不存在的東西了？
希		是的，我想我們必需承認這點。

看到花瓶還是它的形狀？

蘇		我們從另一種觀點來看這個問題。這裏，我在這板上寫下數字，你看到了嗎？
希		我看到了。
蘇		你可以用手摸一下這個數字嗎？
希		當然。
蘇		那數字可能存在囉？
希		你在挖苦我了。看吧，我在同樣的板上畫上一條七頭怪龍，這樣的一條龍就會跟著存在嗎？我不曾碰過看到龍的人，而且我確信，除了妖精故事外，龍是不存在的。然而，要是我錯了，要是在海格力斯的柱子8以外的地方，龍確實存在，那也跟我所畫的無關。
蘇		你說得對，希伯，我完全同意。但這是不是說，即使我們能讀數字、寫數字、數字在現實世界依然是不存在？
希		當然。
蘇		不要太快下結論。我們試試別的。我們說能算出這兒牧場有多少羊，或是壁流海港的船隻數量，對不對？
希		對啊。
蘇		那麼羊跟船存在嗎？
希		當然囉。
蘇		要是羊存在，它們的數目也總該是某個存在的東西吧？
希		蘇格拉底，你在開我玩笑。數學家不算羊，那是牧羊人的事。
蘇		你的意思是指數學家不研究羊，船或其他存在的東西的數目，而只研究數字本身？他們關心的那些東西只存在於他們心靈中？
希		這正是我的意思。
蘇		剛剛你跟我說，依史愛得多的意思，數學家研究數字和幾何形狀。你對形狀的看法如何？要是我問你形狀是否存在，你如何回答呢？
希		當然是存在的。譬如說，我們能看到一座美麗花瓶的形狀，而且還可用手去觸覺到它。
蘇		雖是這樣，我還是有個疑問。要是你注視一個花瓶，你是看到花瓶呢？還是看到它的形狀？
希		我都看到。
蘇		那是不是就像注視一頭羔羊呢？你看到了羊，又看到了羊毛嗎？
希		我發覺這個比喻選得非常好。
蘇		喔，我認為這倒像希菲托斯9那樣跛哩！你可以剪掉羔羊的毛，然後看到沒有毛的羊和不在羊身上的毛。可是你能用類似的方法把花瓶的形狀從花瓶本身分開嗎？
希		當然不行。而且我敢說沒有人有辦法。
蘇		既是這樣，你還相信你能看到幾何形狀嗎？
希		我開始懷疑了。
蘇		此外，要是數學家研究花瓶的形狀，我們可不能叫他陶工吧？
希		當然。
蘇		那麼要是戴爾是最好的數學家，他不見得也是最好的陶工吧。我聽過很多人讚美他，卻沒有人告訴過我，他對陶器製造有絲毫的了解。我懷疑他是不是會造那最簡單的壼。也許數學家是在研究雕像或建築的形狀吧？
希		要是的話，他們就是彫刻家或建築師了。
蘇		好，朋友，那麼我們就導致一種結論了：數學家在研研究幾何時，不管像花瓶這類存在物體的形狀，只管那些在他們思考裏存在的形狀。你同意嗎？
希		我不得不同意。

數學比其他科學更可靠？

蘇		既然認定了數學家只關心他們思想裏存在而現實不存在的東西後，我們來看看你講過的史愛得多的話一一數學比其他科學能給我們更可靠，更可信的知識。告訴我，史愛得多舉過例子嗎？
希		舉過。他說像從斯巴達到雅典，就沒有人知道真正有多遠。當然，在那條路旅遊的人，都同意必需走的天數，可是到底距離多少，卻沒人曉得。相反的，利用畢氏定理，我們能說正方形的對角線有多長。史愛得多又說，給出住在希臘的正確人口數目，是件不可能的事。要是有人想全部算完，他也永遠不會得到真正的數目。因為在他算的時候，有些老人會死，有些小孩會出生；因此總數只可能逼近正確目目。可是如果你問數學家說，正十二面體有幾條邊，他會告訴你，十二面體是由十二個面所合成，而每面有五條邊，這就得到 60。不過由於每條邊都屬於兩個面，因此算了兩次，所以十二面體的邊數是 30，而這個數字是用不着懷疑的。
蘇		他又提了其他例子嗎？
希		提了好一些，我已經不完全記得了。他說在現實裏，永遠不可能找到兩個完全相同的東西。沒有兩隻蛋是完全一模一樣的，即使是波賽冬10廟的柱子彼此也都有輕微的差別。但是每個人都可以確定的說，長方形的兩條對角線完全相等。他引用赫拉克里特11的話說，存在的東西永遠在變化，而明確肯定的知識只可能跟不變化的事相關，譬如，奇數和偶數、直線和圓。
蘇		這就行了。這些例子使我相信在數學裏頭，我們得到的知識是用不着懷疑的。然而，在其他科學或者在日常生活中，卻不可能獲得這種知識的。現在我們試著把對數學本質探討所得的結果做個總結。我們得到結論是：數學是研究不存在的東西，而且能夠找出跟它們有關的所有真理。我可以這樣說嗎？
希		是的，那就是我們所認定的。

肯定克莉有罪！

蘇		不過，看在宙斯的份上，親愛的希伯，告訴我，對不存在的事情所知道的反比存在的事情多，這不有點神奇嗎？
希		經你這麼說，那確實神奇。那一定是我們的討論裏有些錯誤。
蘇		不會的，我們非常小心的進行探討而且掌握了討論的每一個步驟，我們的推理是不可能有任何錯誤的。不過聽著，我記得一些事情，也許能幫我們解開這道謎。
希		快告訴我，我簡直不知如何是好。
蘇		今天早上，我在第二執正官的廳堂裏。在那兒，有個從底索斯村來的木匠夫人被告不貞，罪行是跟她的愛人殺了她的丈夫。女的否認，並在阿緹蜜絲和阿芙蘿迪蒂12前起誓，說她從沒愛過丈夫以外的男人，她丈夫是被海盜殺死的。許多人被傳來作證。有人說這女人有罪，其他人說她是無辜的。想找出事實真相是不可能的了。
希		你是不是又在嘲弄我了？起先你完全把我弄混，現在不幫我找出真理，卻告訴我這個故事。
蘇		別生氣，我的朋友，跟你談起這個無法定罪的女人，我是很正經的。我們可以確定一件事，那就是這個女人存在。我親眼看到了她，在場的人也看到了，而且他們當中有許多人一生沒說過謊話，你可以去問問他們相同的問題，你會得到同一個解答的。
希		你的證詞已經足夠了，親愛的蘇格拉底。就算這個女人存在，這和數學又有什麼相關呢？
蘇		比你想像的還多。不過先告訴我，你曉得阿加曼農和克莉泰涅斯特拉（以下簡稱克莉）的故事嗎？
希		這個故事還有人不知道嗎！去年我在劇場看過艾斯奇勒斯13的三部曲。
蘇		那就簡短地說給我聽吧。
希		希米仙那之王阿加曼農，在特洛伊城牆下奮戰時，他的妻子克莉跟他的侄子亞奇斯私通。特洛伊攻陷後，阿加曼農回到家裏，他的妻子和她的情人把他給謀殺了。
蘇		告訴我，希伯，克莉有罪，是確實的麼？
希		我不明白你為什麼問我這個問題。這個故事是不可能有疑問的。根據荷馬史詩14，尤利西斯15到陰間探望時，他碰到了阿加曼農。阿加曼農把他悲慘的命運說給尤利西斯聽。
蘇		你確定克莉、阿加曼農和這個故事的所有其他角色真的存在？
希		雖然如果我公開地說出我的意見，可能會被放逐。不過我認為，不管荷馬的故事是真是假，經過這麼多世紀，想在今天證明或反證它的真假，是不可能的了。但這些完全不要緊。我說克莉有罪時，即使克莉真的存在，我也不是指她。我所指的是我們的荷馬遺產裏的克莉，艾斯奇勒斯三部曲裏的克莉。
蘇		我可否說——對真的克莉我們是一無所知——嗎？甚至於她是否存在也無法確定。不過，把克莉看做艾斯奇勒斯三部曲裏的角色，我們可以肯定她有罪而且謀殺了阿加曼農，因為那就是艾斯奇勒斯所告訴我們的。
希		是的，這當然。不過為什麼你儘講這些呢？
蘇		等一下你就會明白。我把我們探求到的做個摘要。今天，在雅典沒辦法確定一位有血有肉的婦女是否有罪。可是對一個戲劇裏的人物，克莉的罪行卻是毫無疑問，而且她還很可能根本不存在。你同意嗎？
希		現在我開始明白你想說些什麼，不過要是你自己下結論那就更好。
蘇		結論是這樣的：對只在我們想像中存在的人，例如戲劇裏的人物，我們反而比活生生的人有更多更可靠的知識。要是我們說克莉有罪，那不過是說，艾斯奇勒斯是這樣的看她，而且把她寫入他的劇本裏。數學的情形完全一樣。我們能確定長方形的對角線等長，是因為這是從數學家所下的定義裏推演出來的。
希		蘇格拉底，你的意思是說，我們矛盾的結果竟然是對的了？我們對不存在的東西——像數學上的概念——能得到的知識，比對自然界的真實存在的東西所得的來得更多更確實了。我想現在我也明白當中的道理了。我們自己所創造的概念，在本質上是我們了解的東西，而且我們能夠找出有關這些概念的所有真理，是因為在我們的想像之外，這些概念並無實體可言。然而，現實世界存在的東西，跟我們描繪它們的圖像並不一致，後者永遠是不齊全的，近似的。因此，對這些現實事物，我們的知識是永遠不可能齊全或絕對正確的。
蘇		說得很對。年輕的朋友，你講的比我所能講的好得多了。

數學家是發現者

希		這是你的功勞，蘇格拉底，因為是你引導我明瞭這些事情的。現在對史愛得多告訴我的話，他說要是我想求得沒錯誤的知識，就得研究數學，我不但知道那是完全正確的，而且我也曉得為什麼那是正確的了。然而，你既然一直那麼有耐心的指導我，就請別放棄我，這是因為我還有個問題，事實上是最重要的問題，還沒有解決。
蘇		那是甚麼問題？
希		蘇格拉底，請你回想一下，我是來問你該不該去研究數學。而你幫我了解到數學能而且也只有數學才能給我想要的那種完美的知識。但是這種知識有什麼用呢？很明顯的，要是有人對這實存的世界有些知識，儘管是不齊全和不絕對正確的，可是對個人對城邦仍然有價值。甚至於要是有人對星體有些知識，那也可能有用，譬如在夜間航行。但是對不存在的東西所得的知識，像數學所給我們的，又有什麼用呢？即使那是齊全而又用不着懷疑的，可是對現實不存在的東西所有的知識又有什麼用呢？
蘇		親愛的朋友，我確定你是知道答案的，你只不過想來考考我罷了。
希		海格力斯作證，我並不曉得答案。請幫我忙吧。
蘇		好，我們試試看。我們已經認定數學概念是數學家自己創造出來的。告訴我，這是不是說，數學家隨自己高興任意選取概念呢？
希		如我所告訴你的，我對數學還懂得不多。不過對我來說，數學家選擇他研究的對象，就跟詩人選擇他劇本的人物一樣自由，而且就像詩人把自己喜歡的個性給他的人物一樣，數學家也能把自己喜愛的性質附在他的概念上。
蘇		真是這樣的話，數學的真理就會跟數學家一樣多了。那你又如何解釋，所有的數學家都研究相同的概念和問題呢？住在相隔很遠又不相往來的數學家，會個別地發現相同的真理，而這種事又經常的發生，對這些你又是如何解釋呢？我可從沒聽過有兩個詩人寫過相同的詩。
希		我也沒聽過這種事。不過我倒記得史愛得多告訴過我的一件事。這件事和他在不可公度的長度這方面所做的一個有趣的定理有關。他把他的結果拿給他的老師戴爾看。戴爾拿出一張阿爾庫塔斯16寫的信，信裏頭幾乎是一字不漏的把相同的定理重寫一遍。
蘇		在詩裏頭那是不可能的。現在你看得出來是有問題了。不過我們還是繼續下去。你如何解釋，不同國家的數學家對真理的看法經常能一致，而跟誠邦有關的事，像波斯人和斯巴達人就跟我們住在雅典的人有很不相同的看法？甚至於我們同住在這裏，看法為什麼也都經常不一致？
希		我能回答後面的問題。跟城邦有關的事情，每人只管個人的利益，而這些個人利益卻經常衝突。這就是很難一致的原因。然而數等家純粹是被一股探求真理的欲望所引導著。
蘇		你是說，數學家想找出跟他個人無關的真理嗎？
希		是的，我的意思正是這樣。
蘇		可是這樣即是說之前我們弄錯了數學是隨意選擇他們研究的對象了。看來，他們研究的對象該是某種跟他們個人無關的存在吧。我們得解開這新的謎。
希		我不曉得如何開始。
蘇		要是你還有耐心，我們共同試試看。告訴我，找到無人島的水手跟找到一種從沒人用過的新顏色的漆匠有什麼分別？
希		我想可稱這位水手爲發現者，而這位漆匠為發明者。這位水手發現了島，這座島在他之前是存在的，只是沒人曉得罷了；可是這位漆匠發明了一種新顏色，而這種顏色在他之前並不存在。
蘇		沒有人能比你回答得更好了！不過告訴我，數學家找到了一項新真理時，他是發現呢？還是發明呢？他像水手是個發現者呢？還是像漆匠是個發明者呢？
希		對我來說，數學家比較像個發現者。他是個大膽的水手，航行在思考的未知大海中，探索它的岸、島和旋渦。
蘇		很好，我完全同意。我只再加一點，數學家在較小的範圍內也是個發明者，特別是在他創造新概念的時候。不過，每個發現者在某種程度內也一定是個發明者。例如，要是水手想到一個其他水手去不到的地方，他就得造一艘船，比別的水手所用過的好。數學家創造的新概念就像新船，在思考的大海裏，把發現者送得更遠。
希		親愛的蘇格拉底，你幫我找到問題的解答了，這些問題對我來說是那麼的難。數學家的主要意圖是探索人類思考的奧秘。它們獨立存在於各個數學家以外，雖則離不開整個人類。數學家有相當程度的自由創造新概念來做他的工具，而且表面上看來，他好像可以任意創造，然而真正做時，他並不是很自由的，因為新概念必需對他的工作有用。水手也可以任意造各式各樣的船，可是，如果他造的船第一次遇到暴風雨就裂成碎片，那他準是瘋了。我想現在每件事都很清楚了。

這真是個奇蹟！

蘇		要是你對每件事都清楚了，那麼再試著回答這個問題：數學的目的是什麼？
希		我們的結論是：除了我們住的世界以外，有另一個世界——人類思考的世界。而數學家是探索這個世界的大膽水手，不會因前頭的麻煩、危難和冒險而退縮。
蘇		朋友，你那年輕的活力幾乎冲昏了我，可是我怕在激情中你會忽略了某些問題。
希		什麼問題？
蘇		我不想掃興，不過我覺得你的主要問題還是沒有解決。我們還沒有回答底下的問題：探索人類這可驚訝的思考大海有什麼用？
希		親愛的蘇格拉底，你永遠是對的。不過，這回你能不能撇開你的方法，馬上告訴我答案呢？
蘇		不，朋友，即使我有辦法，我也不會這麼做，而且這也是為了你的緣故。不努力得來的知識，幾乎是沒有什麼價值的。只有自己尋找——也許加些外力幫忙——我們才能徹底瞭解所得的知識。就像植物只能用自己的根，吸收土壤中的水分，再加以利用的道理一樣。
希		好吧，用同樣的方法繼續我們的探討吧。不過至少問個問題幫幫我吧。
蘇		再回到我們認定過的觀點上，那就是說，數學家不管羊、船或其他存在物的數目，只管數字本身。然而，你不覺得數學家對純數字發現是對的，對存在物的數目也該對嗎？例如數學家發現 17 是質數，因此把 17 隻活羊分給一羣人，每個人的羊要一樣多，那麼除非是 17 個人，否則這是沒辦法的，對吧？
希		當然對。
蘇		幾何又怎麼樣？能用來造房子，做瓶子，或算一條船能載的穀量嗎？
希		當然能夠。雖然對我來說，這些因工匠實際需要而用的數學並不太多。而且大部分這類的用途，只要埃及法拉王的屬官早就知道的簡單規則就夠了。至於史愛得多極其狂熱所告訴我的新發現，實際上用不到也不需要。
蘇		也許不在目前，不過將來可能用得上。
希		我對目前有興趣。
蘇		如果你想當這數學家，你一定要明瞭你要做的工作，大部分都是為着將來。現在，我們回到主題。我們已經知道思考世界的知識，也就是平常意義下不存在的東西的知識，能用到日常生活當中，解決現實世界的問題。這不很奇怪嗎？
希		不只奇怪，簡直是無法理解。真是個奇蹟！
蘇		也許一點也不這麼神秘，而且只要我們揭開了問題的外殼，我們可能會找到真珠。
希		拜託啦，親愛的蘇格拉底，別像皮媞亞17那樣講謎語般的話。
蘇		那麼告訴我，要是有人旅遊各國，觀察、經歷了不少事物，回到了他的城邦，以他的經驗跟他的同胞提供好的建議，你會驚訝嗎？
希		一點也不。
蘇		甚至於這個人旅遊的國家，跟自己的城邦隔得很遠，而且住著別種人，說著別種話，拜著別種神，你也不會覺得奇怪？
希		那也不會，因為不同人中有許多相似的地方。
蘇		那你告訴我，如果數學的世界，不管有多奇異，在某些意義下和我們的現實世界相似，那你還會覺得數學能應用在現實世界是件奇蹟嗎？
希		在那種情況下不會，不過我看不出現實世界跟想像的數學世界有任何相似的地方。
蘇		你看到河對岸的岩石麼？在那兒河面變寬形成了湖。
希		看到了。
蘇		你看到了岩石在水面的倒影嗎？
希		當然看到了。
蘇		那告訴我，岩石跟倒影有麼不同？
希		岩石是塊硬而紮實的東西。日晒就熱，摸了就覺得粗糙。倒影卻摸不著，摸了只會碰到冷水。事實上，倒影不存在，只是個幻象罷了！
蘇		岩石跟倒影沒有相同的地方嗎？
希		嗯，在某些意義下，倒影是岩石忠實的化身。岩石的外形，甚至於那細微的支撐點，從倒影都看得一清二楚。不過這又是什麼？難道你想說，數學的世界是現實世界在我們思考的鏡子裏的映像嗎？
蘇		你說對了，而且說得非常好。
希		不過那又怎麼可能？
蘇		我們回顧一下數學的抽象概念是怎麼發展的。我們說，數學家管純數字，不理實際物體的個數。可是你想想看，沒有算過實際物體的人，又怎能瞭解數字的抽象概念呢？小孩學數學時，他先算石子和小木棒。只有在他了解到兩塊石子和三塊石子合成五塊石子，而且了解到這個結果對小木棒或穀粒也是一樣時，他才有辦法了解到二加三得到五。幾何的情況主要的也跟這個相同。小孩藉著碰過像珠子那樣圓的東西，得到了球的概念。人以同樣的方法來發展數學所有的基本概念。這些概念是現實世界知識的結晶，因此就像小孩有了父母親的特徵一樣，這些概念有了本源的特性是極其自然而用不着驚訝的。而且就像小孩長大後成為父母親的扶養者一樣，任何一支數學，要是有了充分的發展，就會變成探索現實世界的有用工具了。
希		現在對數學世界裏頭那不存在的東西的知識，如何用到日常生活上來，我是相當清楚了。你幫了我個大忙，使我了解了這件事。

靠得太近就看不到整張圖了

蘇		親愛的希伯，我真羨慕你，因為我還有件想不通的事想解決。也許你能幫我忙。
希		我很高興幫忙，可是我怕你又在挖苦我。不要用求我的方式來使我慚愧，坦白地告訴我那個問題我忽視了。
蘇		要是你把我們的討論做個摘要，你自己就會發現。
希		好的。數學能提供有關於我們所處以外的另一個世界——人類思考的世界——的確切知識。在明白數學為何能提供這些知識後，剩下來的問題是關於這些知識的使用。現在我們已經發現，數學不過是自然世界在我們心靈的映像罷了。這樣一來，數學世界的任何發現，為什麼我們都能對應於現實世界的一些資料，就變得很清楚了。對這個答案，我完完全全滿意。
蘇		如果我告訴你這個答案還不完全，我並不是想把你搞混，只是因為我確定你遲早會自己發現這問題，而且會責備我為什麼不提醒你注意。你會說:「 告訴我，蘇格拉底，要是我們能研究物體本身的話，研究它的映象又有什麼意義？」
希		你完全對，那是個明顯的問題。蘇格拉底，你真是個鬼才！你能用幾個字徹底地把我弄混亂，而且你能用個貌似單純的問題，把我們極其艱難建立起來的大厦給摧毀。我當然會回答，要是我們能看得到原物，看它的映象就沒有意義了。不過，我確定這只是表示我們的比喻在這點失效罷了。絕對有答案，只是我不知道如何找出來。
蘇		你猜對了，矛盾會產生是因為我們對映象的比喻太執著了。比喻像把弓，張得太開，就會突然斷裂。這個比喻我們不用了，另外再選一個。你一定曉得旅行的人跟水手都很會用地圖吧。
希		我自己也有過經驗。你是說數學描了一張現實世界的地圖？
蘇		是的。現在你能回答我的問題嗎？看地圖比看風景好在那裏呢？
希		很明顯：用地圖我們能瀏覽很長的距離，要是旅行恐怕要走上好幾個星期或好幾個月。地圖不說明細節，只告訴我們重要的事情。所以要是我們想做個遠航的計劃地圖是有用的。
蘇		非常好。不過對我來說，還有些別的東西。
希		是什麼？
蘇		研究這個世界的數學映象為什麼會有好處，還有其他原因。如果數學家發現了圓的某些性質，我們馬上對所有圓形的物體多些資料。所以，數學的方法能使我們同時處理不同的東西。
希		要是有人在城附近的山頂看這座城，他會比在城裏彎曲街道上走的人，對這座城更清楚。或者說，要是有位將軍在山坡上觀看敵軍的移動，他就會比在前線的士兵——他只看到正面的敵人——對整個情況有更清楚的了解。這些比喻你認為怎麼樣？
蘇		好，好，你比我更會造新的比喻。不過我不想落後，我再加個比喻。最近我看了亞里斯多芬，亞格拉芬18的兒子，畫的一張圖。他提醒我：「蘇格拉底，要是你太靠近圖，你就只會看到顏色，看不到整張圖。」
希		當然他是對的。而且在我們還沒進入問題的核心之前，你不肯結束我們的探討，你也是對的。不過我想是回城的時候了，因為夜幕已經低垂，而且我又饑又渴。要是你還有耐性，路上我想問你一些事情。
蘇		好吧，就走吧。你可以問你的問題了。
希		我們的討論使我完全相信我該研究數學，而且對這點我很感激你。可是告訴我，為什麼你自己不研究數學呢？從你對現實世界以及數學重要性的深刻了解，可以判斷得出來，要是你專心在數學上面，我猜會比希臘的所有數學家來得好。如果你收容我，我會很高興的跟你，做個數學的學生。
蘇		不，親愛的希伯，那不是我的事。戴爾對數學比我了解得多，而且你也找不到比他更好的老師。至於你問我為什麼自己不做個數學家，我會告訴你原因的。我不會抹殺掉我對數學的高評價。我想我們希臘人，在其他技術都沒有像數學一樣有這麼大的進步，而這才剛開始。要是我們不在瘋狂的戰爭裏彼此消滅，做個發現者或發明者，我們都會得到美妙的結果的。你問我為什麼不加入發展這偉大科學的行列裏，事實上，我是某種數學家，只是不一樣的型態罷了。有一道內在的聲響——你可以說是神諭吧，已經問過我好幾年了，而我也經常很仔細地聽著，它問：「數學家在他們高貴的科學上有了很大的進步，原因是什麼？」我回答說：「我想數學家成功的原因，在於他們的方法，他們高水平的邏輯，他們對整個真理毫不妥協的爭取以及他們永遠從第一原則開始的習慣。也就是說，對每個要用的概念正確地下定義，而且避免自相矛盾。」我那內在的聲響回答說：「非常好，蘇格拉底，但是你為什麼認為這種思考和討論的方法，只能用來研究數字和幾何形狀呢？為什麼你不設法說服你的同胞，把相同優越的邏輯標準用在其他方面呢？譬如，用在哲學和政治上，用在討論每天私人和公共生活的問題上？」從那時起，這就成為我的目標。我已經證明了，（例如，你記得吧，我們跟普羅達格拉斯的討論），被認為是聰明的人，大部分是無知的呆瓜。他們的所有議論都缺少堅實的基礎，因為他們用了——和數學家相違反的——無定義的而且一知半解的概念。也就是我這麼做，幾乎使得每個人都成為我的仇敵。這用不着奇怪，對於那些懶於思考而又吊兒郎當地滿足於使用曖昧名詞的人，我是個活生生的譴責。一般人大多不喜歡那些經常提醒他們錯誤的人，那些錯誤他們無法也不願意改過。這些人攻擊我、消减我的日子就要到了。但是直到那天來臨，我還是繼續跟着我的呼唤走。而你，到戴爾那邊去吧。

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1. 希伯克拉特(Hippocrates)（紀元前約 470-410）：希臘數學家，另外當時有一位同名的醫學家，請勿混淆。希伯克拉特在數學裏引進兩個重要的方法，一是將定理重排，使得後面的定理能根據前面的定理推演而出。一是反證法。↩

2. 蘇格拉底(Socrates)（紀元前 470-399）：希臘哲學家，被認為是西方哲學的奠基者。 ↩

3. 普羅達格拉斯(Protagoras)（紀元前約 481-411）：希臘辯士中最有名氣的一位，學說不詳。他的名言是：「對於一切東西，說它是什麼就是什麼，說它不是什麼就不是什麼，這全在於人」蘇格拉底和希伯克拉特曾跟他辯過有關五德的事，事見《柏拉圖對話錄普羅達格拉斯篇》。 ↩

4. 戴爾多拉斯(Theodorus)（紀元前約 470 年生）：希臘數學家，屬於畢氏學派。以證明（用現在的說法）√3, √5, .........√17 和單位長不可公度著名。 ↩

5. 史愛多得 (Theaetetus)（紀元前約 415-369）：希臘數學家，屬於柏拉圖學派。發展了不可公比理論，並將無理數（現在的說法）加以分類。不過他所做的無理數都只限於幾何方法能做出的長度。 ↩

6. 希臘人稱呼人時，常在該人名字之後加上某某人之子，或者不稱名字直稱某某人之子。 ↩

7. 宙斯 (Zeus)：希臘神話裏最有權力的主神。 ↩

8. 海格力斯 (Hercules)：希臘神話中最著名的英雄，曾做「十二苦工」以贖罪。在做第十件苦工時，路經直布羅陀海峽，放了兩塊石柱在海峽的南北岸。所以稱直布羅陀海峽為「赫落可之柱」(Pillars of Hercules)。 ↩

9. 希菲托斯 (Hephaestus)：希臘神話裏的火神，宙斯的兒子，跛脚。蘇格拉底藉此來諷刺比喻選擇得偏頗不當。 ↩

10.波賽冬 (Poseidon)：希臘神話裏的海神，宙斯的哥哥。 ↩

11.赫拉克里特 (Heraclitus)（紀元前 535-475）：希臘哲學家。他的學說有兩個要點：第一、他以為萬物如流水，變化不息。第二、變化不息的原因是對立者互相爭鬥。這裏的對立者指生死、老幼、善惡等。 ↩

12.阿緹蜜絲 (Artemis)：月之女神。阿芙蘿迪蒂 (Aphrodite)：愛與美的女神。 ↩

13.艾斯奇勒斯 (Aeschylus)（紀元前 525-456）：希臘悲劇作家。以《奧瑞斯提亞》(Oresteia) 三部曲（含《阿加曼農》、《奠酒人》、《復仇女神》）最為出名。 ↩

14.荷馬 (Homer)（出生於約公元前八世紀）：祖傳是希臘盲眼詩人，（也有人認為並沒有這個人），著有神話史詩《伊利亞特》和《奧德賽》，本文史詩指《奧德賽》。 ↩

15.尤利西斯 (Odysseus)，事見荷馬史詩《奧德賽》。尤利西斯在特洛伊戰役之後，歸國途中受到暴風雨的侵襲，以致迷途流浪在外二十年，當中曾為探路下過地獄。 ↩

16.阿爾庫塔斯 (Archytas)（紀元前 428-347）：希臘數學家，屬於畢氏學派。他首先把曲線想成動點的軌跡，曲面想成動曲線的軌跡。此外對幾何力學和聲學都有興趣。 ↩

17.皮媞亞 (Pythyia)：希臘神話裏，在德爾菲的阿波羅神殿，傳達神諭的女巫。本文指如神諭般迷惑難解。 ↩

18.亞格拉芬 (Aglaophon)：在世年代約為紀元前五至六世紀，生有兩子：Polygnotus 和 Aristophon（即文中的亞里斯多芬），三人皆為著名希臘畫家。 ↩