| 程度: | 初中 |
| 閱讀時間: | 約 15分鐘 |
摘自︰George Gamow (佐治·伽莫夫) "One, Two, Three...Infinity" (一二三...無窮大) 1961, Chapter One 及科學出版社的譯本
有這麼一個故事，說的是兩個匈牙利貴族決定玩一次遊戲——誰說出的數字大誰贏。
「好，」一個貴族說，「你先說吧！」
另一個絞盡腦汁想了好幾分鐘，最後說出了他所想到的最大數字：
「3」。
現在輪到第一個動腦筋了。苦思冥想了一刻鐘以後，他棄權說：「你贏啦！」
這兩個貴族的智力顯然不很發達的1。再說，這很可能只是一個挖苦人的故事而已。然而，如果上述對話是發生在原始部族中，這個故事大概就完全可信了。有不少非洲探險家證實，在某些原始部族裡，不存在比3大的數詞。如果問他們當中的一個人有幾個兒子，或殺死過多少敵人，那麼，要是這個數字大於3，他就會回答說「許多個」。因此，就計數這項技術來說，這些部族的勇士們可要敗在我們幼兒園裡的娃娃們的手下了，因為這些娃娃有一直數到十的本領呢！
現在，我們都習慣地認為，我們想把某個數字寫成多大，就能寫得多大——用仙為單位表示戰爭經費啦，用英寸來表示天體間的距離啦，等等——只要在某個數字的後面接上一串零就是了。
你可以一直這樣寫下去，直到手腕發酸為止。這樣，儘管目前已知的宇宙中所有原子的數目已經很大，等於300 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000，但是，你還可以寫出比這更大的數目來。
上面這個數可以改寫得短一些，即寫成
在這裡，10 的右上角的小號數字74 表示應該寫出多少個零。換句話說，這個數字意味著3 要用10 乘上74 次。
但是在古代，人們並不知道這種簡單的「算術簡示法」。這種方法是距今不到兩千年的某個佚名的印度數學家發明的。在這個偉大發明（這確實是一項偉大的發明，儘管我們一般意識不到這一點）出現之前，人們對每個數位上的數字，是用專門的符號反覆書寫一定次數的辦法來表示的。例如，數字8732在古埃及人寫來是這樣的：
而在凱撒（Julius Caeser）2的衙門裡，他的辦事員會把這個數字寫成
這後一種表示法你一定比較熟悉，因為這種羅馬數字直到現在還有些用場——表示書籍的捲數或章數啦，各種表格的欄次啦，等等。不過，古代的計數很難得超過幾千，因此，也就沒有發明比一千更高的數位表示符號。一個古羅馬人，無論他在數學上是何等訓練有素，如果讓他寫一下「一百萬」，他也一定會不知所措。他所能用的最好的辦法，只不過是接連不斷地寫上一千個M，這可要花費幾個鐘點的艱苦勞動啊（圖1）。
在古代人的心目中，那些很大的數目字，如天上星星的顆數、海裡游魚的條數、岸邊沙子的粒數等等，都是「不計其數」，就像「5」這個數字對原始部族來說也是不計其數，只能說成「許多」一樣。
阿基米德（Archimedes），公元前3世紀大名鼎鼎的大科學家，曾經開動他那出色的大腦，想出了書寫巨大數字的方法。在他的論文《計沙法》(The Psammites) 中這樣寫著：
阿基米德在這篇著名的論文中所提出的方法，同現代科學中表達大數目字的方法相類似。他從當時古希臘算術中最大的數「萬」開始，然後引進一個新數「萬萬」（億）作為第二階單位，然後是「億億」（第三階單位）、「億億億」（第四階單位），等等。
寫個大數字，看來似乎不足掛齒，沒有必要專門用幾頁的篇幅來談論。但在阿基米德那個時代，能夠找到寫出大數字的辦法，確實是一項偉大的發現，使數學向前邁出了一大步。
為了計算填滿整個宇宙空間所需的沙子總數，阿基米德首先要知道宇宙的大小。按照當時的天文學觀點，宇宙是一個嵌有星星的水晶球。阿基米德的同時代人，著名的天文學家，薩摩斯4的阿里斯塔克斯（Aristarchus）5求得從地球到天球面的距離為10 000 000 000 斯塔迪姆6，即約為1 000 000 000 英里。
阿基米德把天球和沙粒的大小相比，進行了一系列足以把小學生嚇出夢魘症來的運算，最後他得出結論說：
這裡要注意，阿基米德心目中的宇宙的半徑要比現代科學家們所觀察到的小得多。十億英里，這只不過剛剛超過從太陽到土星的距離。以後我們將看到， 在望遠鏡裡， 宇宙的邊緣是在5 000 000 000 000 000 000 000 英里的地方，要填滿這樣一個已被觀測到的宇宙，所需要的沙子數超過10100 粒（即1 的後面有100 個零）。
這個數字顯然比前面提到的宇宙間的原子總數3×1074 大多了，這是因為宇宙間並非塞滿了原子。實際上，在一立方米的空間內，平均才只有一個原子。
要想得到大數目字，並不一定要把整個宇宙倒滿沙子，或進行諸如此類的劇烈活動。事實上，在很多乍一看來似乎很簡單的問題中，也常會遇到極大的數字，儘管你原先決不會想到，其中會出現大於幾千的數字。
有一個人曾經在大數目字上吃了虧，那就是印度的舍罕王（Shirham）。根據古老的傳說，舍罕王打算重賞象棋8的發明人和進貢者，宰相西薩·班·達依爾（Sissa Ben Dahir）。這位聰明大臣的胃口看來並不大， 他跪在國王面前說：「 陛下， 請您在這張棋盤的第一個小格內，賞給我一粒麥子；在第二個小格內給兩粒，第三格內給四粒，照這樣下去，每一小格內都比前一小格加一倍。陛下啊，把這樣擺滿棋盤上所有64 格的麥粒，都賞給您的僕人罷！」
「愛卿。你所求的並不多啊。」國王說道，心里為自己對這樣一件奇妙的發明所許下的慷慨賞諾不致破費太多而暗喜。 「你當然會如願以償的。 」說著，他令人把一袋麥子拿到寶座前。
計數麥粒的工作開始了。第一格內放一粒，第二格內放兩粒，第三格內放四粒，……還沒到第二十格，袋子已經空了。一袋又一袋的麥子被扛到國王面前來。但是，麥粒數一格接一格地增長得那樣迅速，很快就可以看出，即便拿來全印度的糧食，國王也兌現不了他對西薩·班·達依爾許下的諾言了， 因為這需要有18 446 744 073 709 551 615 顆麥粒9呀！
這個數字不像宇宙間的原子總數那樣大，不過也已經夠可觀了。 1 蒲式耳10小麥約有5 000 000 顆，照這個數，那就得給西薩·班·達依爾拿來4 萬億蒲式耳才行。這位宰相所要求的，竟是全世界在2000 年內所生產的全部小麥！
這麼一來，舍罕王發覺自己欠了宰相好大一筆債。什麼辦？要麼是忍受西薩·班·達依爾沒完沒了的討債，要么是乾脆砍掉他的腦袋。據我猜想，國王大概選擇了後面這個辦法。
另一個由大數目字當主角的故事也出自印度，它是和「世界末日」的問題有關的。偏愛數學的歷史學家鮑爾（Ball）是這樣講述這段故事的11：
圖3是按故事的情節所作的畫，只是金片少畫了一些。你不妨用紙板代表金片，拿長釘代替寶石針，自已搞這麼一個玩具。不難發現，按上述規則移動金片的規律是：不管把哪一片移到另一根針上，移動的次數總要比移動上面一片增加一倍。第一片只需一次，下一片就按幾何級數加倍。這樣，當把第64 片也移走後，總的移動次數便和西薩·班·達依爾所要求的麥粒數一樣多了！
把這座梵塔全部64片金片都移到另一根針上，需要多長時間呢？一年有31 558 000 秒。假如僧侶們每一秒鐘移動一次，日夜不停，節假日照常幹，也需要將近5800億年才能完成。
把這個純屬傳說的寓言和按現代科學得出的推測對比一下倒是很有意思的。按照現代的宇宙進化論，恆星、太陽、行星（包括地球）是在大約30億年前由不定形物質形成的。我們還知道，給恆星，特別是給太陽提供能量的「原子燃料」還能維持100億~150億年。因此，我們太陽系的整個壽命無疑要短於200億年，而不像這個印度傳說中所宣揚的那樣長！不過，傳說畢竟只是傳說啊！
在文學作品中所提及的最大數字，大概就是那個有名的「印刷行數問題」了。
假設有一台印刷機器可以連續印出一行行文字，並且每一行都能自動換一個字母或其他印刷符號，從而變成與其他行不同的字母組合。這樣一架機器包括一組圓盤，盤與盤之間像汽車里程表那祥裝配，盤緣刻有全部字母和符號。這樣，每一片輪盤轉動一週，就會帶動下一個輪盤轉動一個符號。紙張通過滾筒自動送入盤下。這樣的機器製造起來沒有太大的困難，圖4 是這種機器的示意圖。
現在，讓我們開動這架印刷機，並檢查印出的那些沒完沒了的東西吧。在印出的一行行字母組合當中，大多數根本沒有什麼意思，如：
或者
或者
但是，既然這台機器能印出所有可能的字母及符號的組合，我們就能從這堆玩藝兒中找出有點意思的句子。當然，其中又有許多是胡說八道，如
或者
不過， 只要找下去， 一定會發現莎士比亞（William Shakespare）的每一行著作，甚至包括被他扔進廢紙簍裡去的句子！實際上，這台機器會印出人類自從能夠寫字以來所寫出的一切句子：每一句散文，每一行詩歌，每一篇社論，每一則廣告，每一卷厚厚的學術論文，每一封書信，每一份訂奶單……
不僅如此，這架機器還將印出今後各個世紀所要印出的東西。從滾筒下的紙捲中，我們可以讀到30 世紀的詩章，未來的科學發現，2344 年星際交通事故的統計，還有一篇篇尚未被作家們創作出來的長、短篇小說。出版商們只要搞出這麼一台機器，把它安裝在地下室裡，然後從印出的紙捲裡尋找好句子來出版就是了——他們現在所幹的不也差不多就是這樣嘛！
為什麼人們沒有這樣幹呢？
來，讓我們算算看，為了得到所有字母和印刷符號的組合，該印出多少行來。
英語中有26個字母、十個數碼（0，1，2，…，9）、還有14個常用符號（空白、句號、逗號、冒號、分號、問號、驚嘆號、破折號、連字符、引號、省略號、小括號、中括號、大括號），共50個字符。再假設這台機器有65個輪盤，以對應每一印刷行的平均字數。印出的每一行中，排頭的那個字符可以是50個字符當中的任何一個，因此有50種可能性。對這50種可能性當中的每一種，第二個字符又有50種可能性，因此共有50×50＝2 500種。對於這前兩個字符的每一種可能性，第三個字符仍有50 種選擇。這樣下去，整行進行安排的可能性的總數等於
或者
要想知道這個數字有多麼巨大，你可以設想宇宙間的每個原子都變成一台獨立的印刷機，這樣就有3×1074 部機器同時工作。再假定所有這些機器從地球誕生以來就一直在工作，即它們已經工作了30 億年或1017秒。你還可以假定這些機器都以原子振動的頻率進行工作，也就是說，一秒鐘可以印出1015行。那麼，到目前為止，這些機器印出的總行數大約是
「好，」一個貴族說，「你先說吧！」
另一個絞盡腦汁想了好幾分鐘，最後說出了他所想到的最大數字：
「3」。
現在輪到第一個動腦筋了。苦思冥想了一刻鐘以後，他棄權說：「你贏啦！」
這兩個貴族的智力顯然不很發達的1。再說，這很可能只是一個挖苦人的故事而已。然而，如果上述對話是發生在原始部族中，這個故事大概就完全可信了。有不少非洲探險家證實，在某些原始部族裡，不存在比3大的數詞。如果問他們當中的一個人有幾個兒子，或殺死過多少敵人，那麼，要是這個數字大於3，他就會回答說「許多個」。因此，就計數這項技術來說，這些部族的勇士們可要敗在我們幼兒園裡的娃娃們的手下了，因為這些娃娃有一直數到十的本領呢！
現在，我們都習慣地認為，我們想把某個數字寫成多大，就能寫得多大——用仙為單位表示戰爭經費啦，用英寸來表示天體間的距離啦，等等——只要在某個數字的後面接上一串零就是了。
你可以一直這樣寫下去，直到手腕發酸為止。這樣，儘管目前已知的宇宙中所有原子的數目已經很大，等於300 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000，但是，你還可以寫出比這更大的數目來。
上面這個數可以改寫得短一些，即寫成
3×1074
在這裡，10 的右上角的小號數字74 表示應該寫出多少個零。換句話說，這個數字意味著3 要用10 乘上74 次。
但是在古代，人們並不知道這種簡單的「算術簡示法」。這種方法是距今不到兩千年的某個佚名的印度數學家發明的。在這個偉大發明（這確實是一項偉大的發明，儘管我們一般意識不到這一點）出現之前，人們對每個數位上的數字，是用專門的符號反覆書寫一定次數的辦法來表示的。例如，數字8732在古埃及人寫來是這樣的：
而在凱撒（Julius Caeser）2的衙門裡，他的辦事員會把這個數字寫成
MMMMMMMMDCCXXXII
這後一種表示法你一定比較熟悉，因為這種羅馬數字直到現在還有些用場——表示書籍的捲數或章數啦，各種表格的欄次啦，等等。不過，古代的計數很難得超過幾千，因此，也就沒有發明比一千更高的數位表示符號。一個古羅馬人，無論他在數學上是何等訓練有素，如果讓他寫一下「一百萬」，他也一定會不知所措。他所能用的最好的辦法，只不過是接連不斷地寫上一千個M，這可要花費幾個鐘點的艱苦勞動啊（圖1）。
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| 圖 1 凱撒時代的一個古羅馬人試圖用羅馬數字來寫「一百萬」，牆 上掛的那塊板恐怕連「十萬」也寫不下 |
在古代人的心目中，那些很大的數目字，如天上星星的顆數、海裡游魚的條數、岸邊沙子的粒數等等，都是「不計其數」，就像「5」這個數字對原始部族來說也是不計其數，只能說成「許多」一樣。
阿基米德（Archimedes），公元前3世紀大名鼎鼎的大科學家，曾經開動他那出色的大腦，想出了書寫巨大數字的方法。在他的論文《計沙法》(The Psammites) 中這樣寫著：
有人認為，無論是在敘拉古(Syracuse)3，還是在整個西西里島，或者在世界所有有人煙和無人蹟之處，沙子的數目是無窮大的。也有人認為， 這個數目不是無窮大的， 然而想要表達出比地球上沙粒數目還要大的數字是做不到的。很明顯，持有這種觀點的人會更加肯定地說， 如果把地球想像成一個大沙堆，並在所有的海洋和洞穴裡裝滿沙子， 一直裝到與最高的山峰相平，那麼，這樣堆起來的沙子的總數是無法表示出來的。但是，我要告訴大家，用我的方法，不但能表示出佔地球那麼大地方的沙子的數目， 甚至還能表示出佔據整個宇宙空間的沙子的總數。
阿基米德在這篇著名的論文中所提出的方法，同現代科學中表達大數目字的方法相類似。他從當時古希臘算術中最大的數「萬」開始，然後引進一個新數「萬萬」（億）作為第二階單位，然後是「億億」（第三階單位）、「億億億」（第四階單位），等等。
寫個大數字，看來似乎不足掛齒，沒有必要專門用幾頁的篇幅來談論。但在阿基米德那個時代，能夠找到寫出大數字的辦法，確實是一項偉大的發現，使數學向前邁出了一大步。
為了計算填滿整個宇宙空間所需的沙子總數，阿基米德首先要知道宇宙的大小。按照當時的天文學觀點，宇宙是一個嵌有星星的水晶球。阿基米德的同時代人，著名的天文學家，薩摩斯4的阿里斯塔克斯（Aristarchus）5求得從地球到天球面的距離為10 000 000 000 斯塔迪姆6，即約為1 000 000 000 英里。
阿基米德把天球和沙粒的大小相比，進行了一系列足以把小學生嚇出夢魘症來的運算，最後他得出結論說：
很明顯，在阿里斯塔克斯所確定的天球內所能裝填的沙子粒數，不會超過一千萬個第八階單位7。
這裡要注意，阿基米德心目中的宇宙的半徑要比現代科學家們所觀察到的小得多。十億英里，這只不過剛剛超過從太陽到土星的距離。以後我們將看到， 在望遠鏡裡， 宇宙的邊緣是在5 000 000 000 000 000 000 000 英里的地方，要填滿這樣一個已被觀測到的宇宙，所需要的沙子數超過10100 粒（即1 的後面有100 個零）。
這個數字顯然比前面提到的宇宙間的原子總數3×1074 大多了，這是因為宇宙間並非塞滿了原子。實際上，在一立方米的空間內，平均才只有一個原子。
要想得到大數目字，並不一定要把整個宇宙倒滿沙子，或進行諸如此類的劇烈活動。事實上，在很多乍一看來似乎很簡單的問題中，也常會遇到極大的數字，儘管你原先決不會想到，其中會出現大於幾千的數字。
有一個人曾經在大數目字上吃了虧，那就是印度的舍罕王（Shirham）。根據古老的傳說，舍罕王打算重賞象棋8的發明人和進貢者，宰相西薩·班·達依爾（Sissa Ben Dahir）。這位聰明大臣的胃口看來並不大， 他跪在國王面前說：「 陛下， 請您在這張棋盤的第一個小格內，賞給我一粒麥子；在第二個小格內給兩粒，第三格內給四粒，照這樣下去，每一小格內都比前一小格加一倍。陛下啊，把這樣擺滿棋盤上所有64 格的麥粒，都賞給您的僕人罷！」
「愛卿。你所求的並不多啊。」國王說道，心里為自己對這樣一件奇妙的發明所許下的慷慨賞諾不致破費太多而暗喜。 「你當然會如願以償的。 」說著，他令人把一袋麥子拿到寶座前。
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| 圖2 機敏的數學家西薩·班·達依爾宰相正在向印度的舍罕王請求賞賜 |
計數麥粒的工作開始了。第一格內放一粒，第二格內放兩粒，第三格內放四粒，……還沒到第二十格，袋子已經空了。一袋又一袋的麥子被扛到國王面前來。但是，麥粒數一格接一格地增長得那樣迅速，很快就可以看出，即便拿來全印度的糧食，國王也兌現不了他對西薩·班·達依爾許下的諾言了， 因為這需要有18 446 744 073 709 551 615 顆麥粒9呀！
這個數字不像宇宙間的原子總數那樣大，不過也已經夠可觀了。 1 蒲式耳10小麥約有5 000 000 顆，照這個數，那就得給西薩·班·達依爾拿來4 萬億蒲式耳才行。這位宰相所要求的，竟是全世界在2000 年內所生產的全部小麥！
這麼一來，舍罕王發覺自己欠了宰相好大一筆債。什麼辦？要麼是忍受西薩·班·達依爾沒完沒了的討債，要么是乾脆砍掉他的腦袋。據我猜想，國王大概選擇了後面這個辦法。
另一個由大數目字當主角的故事也出自印度，它是和「世界末日」的問題有關的。偏愛數學的歷史學家鮑爾（Ball）是這樣講述這段故事的11：
在世界中心貝拿勒斯(Benares)12的聖廟裡。安放著一個黃銅板，板上插著三根寶石針。每根針高約1 腕尺（1 腕尺大約合20英寸）。像韭菜葉那樣粗細。梵天13在創造世界的時候，在其中的一根針上從下到上放下了由大到小的64 片金片。這就是所謂梵塔。不論白天黑夜， 都有一個值班的僧侶按照梵天不渝的法則， 把這些金片在三根針上移來移去： 一次只能移一片，並且要求不管在哪一根針上，小片永遠在大片的上面。當所有64 片都從梵天創造世界時所放的那根針上移到另外一根針上時，世界就將在一聲霹靂中消滅，梵塔、廟宇和眾生都將同歸於盡。
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| 圖3 一個僧侶在神像前解決“世界未日”的問題。為了省事起見，這裡沒有畫出64 片金片來 |
圖3是按故事的情節所作的畫，只是金片少畫了一些。你不妨用紙板代表金片，拿長釘代替寶石針，自已搞這麼一個玩具。不難發現，按上述規則移動金片的規律是：不管把哪一片移到另一根針上，移動的次數總要比移動上面一片增加一倍。第一片只需一次，下一片就按幾何級數加倍。這樣，當把第64 片也移走後，總的移動次數便和西薩·班·達依爾所要求的麥粒數一樣多了！
把這座梵塔全部64片金片都移到另一根針上，需要多長時間呢？一年有31 558 000 秒。假如僧侶們每一秒鐘移動一次，日夜不停，節假日照常幹，也需要將近5800億年才能完成。
把這個純屬傳說的寓言和按現代科學得出的推測對比一下倒是很有意思的。按照現代的宇宙進化論，恆星、太陽、行星（包括地球）是在大約30億年前由不定形物質形成的。我們還知道，給恆星，特別是給太陽提供能量的「原子燃料」還能維持100億~150億年。因此，我們太陽系的整個壽命無疑要短於200億年，而不像這個印度傳說中所宣揚的那樣長！不過，傳說畢竟只是傳說啊！
在文學作品中所提及的最大數字，大概就是那個有名的「印刷行數問題」了。
假設有一台印刷機器可以連續印出一行行文字，並且每一行都能自動換一個字母或其他印刷符號，從而變成與其他行不同的字母組合。這樣一架機器包括一組圓盤，盤與盤之間像汽車里程表那祥裝配，盤緣刻有全部字母和符號。這樣，每一片輪盤轉動一週，就會帶動下一個輪盤轉動一個符號。紙張通過滾筒自動送入盤下。這樣的機器製造起來沒有太大的困難，圖4 是這種機器的示意圖。
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| 圖4 一台剛剛印出一行莎士比亞詩句的自動印刷機 |
現在，讓我們開動這架印刷機，並檢查印出的那些沒完沒了的東西吧。在印出的一行行字母組合當中，大多數根本沒有什麼意思，如：
aaaaaaaaaaaa…
或者
boobooboobooboo…
zawkpopkossscilm…
horse has six legs and…（馬有六條腿，並且……）
或者
I like apples cooked in terpentin…（我喜歡吃松節油煎蘋果……）
不過， 只要找下去， 一定會發現莎士比亞（William Shakespare）的每一行著作，甚至包括被他扔進廢紙簍裡去的句子！實際上，這台機器會印出人類自從能夠寫字以來所寫出的一切句子：每一句散文，每一行詩歌，每一篇社論，每一則廣告，每一卷厚厚的學術論文，每一封書信，每一份訂奶單……
不僅如此，這架機器還將印出今後各個世紀所要印出的東西。從滾筒下的紙捲中，我們可以讀到30 世紀的詩章，未來的科學發現，2344 年星際交通事故的統計，還有一篇篇尚未被作家們創作出來的長、短篇小說。出版商們只要搞出這麼一台機器，把它安裝在地下室裡，然後從印出的紙捲裡尋找好句子來出版就是了——他們現在所幹的不也差不多就是這樣嘛！
為什麼人們沒有這樣幹呢？
來，讓我們算算看，為了得到所有字母和印刷符號的組合，該印出多少行來。
英語中有26個字母、十個數碼（0，1，2，…，9）、還有14個常用符號（空白、句號、逗號、冒號、分號、問號、驚嘆號、破折號、連字符、引號、省略號、小括號、中括號、大括號），共50個字符。再假設這台機器有65個輪盤，以對應每一印刷行的平均字數。印出的每一行中，排頭的那個字符可以是50個字符當中的任何一個，因此有50種可能性。對這50種可能性當中的每一種，第二個字符又有50種可能性，因此共有50×50＝2 500種。對於這前兩個字符的每一種可能性，第三個字符仍有50 種選擇。這樣下去，整行進行安排的可能性的總數等於
或者
5065
即等於
10110
3×1074×1017×1015＝3×10106
這只不過是上述可能性總數的三千分之一左右而已。看來，想要在這些自動印出的東西里面挑選點什麼，那確實得花費非常非常長的時間了！
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1. 這句陳述並非全無根據，按出自同一文獻的另一則故事：有一隊匈牙利貴族在阿爾卑斯山遠足途中迷路了，當中一位隊員拿出地圖參詳了許久突然「恍然大悟」說「我知道我們在哪！」，其它隊員就問「那裏？」，「看到那邊那座大山沒有？我們就在那頂峰上呀！」↩
2. 凱撒（公元前100～前44年）是古羅馬帝國的統治者 ↩
3. 敘拉古是古代的城邦，位於意大利西西里島東南部。↩
4. 希臘的一個島。↩
5. 古希臘的天文學家，史上有記載的首位創立日心說的學者。↩
6. 斯塔迪姆是古希臘的長度單位，1 斯塔迪姆為606 英呎6 英吋，或188 米。↩
7. 用我們現在的數學表示法，這個數字是：
也可以簡寫成：
1063（即在1 的後面有63 個零）。 ↩
| 一千萬 | 第二階 | 第三階 | 第四階 | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| (10 000 000) | × | (100 000 000) | × | (100 000 000) | × | (100 000 000) |
| 第五階 | 第六階 | 第七階 | 第八階 | |||
| (100 000 000) | × | (100 000 000) | × | (100 000 000) | × | (100 000 000) |
8. 這裡的象棋指的是國際象棋，整個棋盤是由 64 個小方格組成的正方形。↩
9. 這位聰明的宰相所要求的麥子粒數可寫為：
直接寫出結果來就是 18 446 744 073 709 551 615。↩
1+2+22+23+24+……262+263
在數學上，這類每一個數都是前一個數的固定倍數的數列叫做幾何級數（在我們這個例子裡，這個倍數為2）。可以證明，這種級數所有各項之和，等於固定倍數（在本例中為2）
的項數次方冪（在本例中為64）減去第一項（此例中為1）所得到的差除以固定倍數與 1 之差。這就是：
10. 蒲式耳是歐美的容量單位（計算穀物專用）。 1 蒲式耳約合35.2 升。↩
11. 引自W.W.R.Ball, Mathematical Recreations and Essays (The Macmillan Co., New York, 1939)。↩
12. 貝拿勒斯是印度教的一座聖城，位於印度北部。↩
13. 梵天是印度教的主神。↩
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